问题
问答题
设A是n阶实矩阵，则A为正定矩阵的充要条件是存在n阶正定矩阵B，使得A=B2．
答案
参考答案：本题考查抽象型矩阵的正定，逻辑推理题一直是考生复习中的薄弱环节，故本题是一道有一定难度的综合题．
必要性 由于A正定，则A为实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使
[*]
其中λ1，λ2，…，λn为A的全部特征值，且有λi＞0(i=1，2，…，n)，则
[*]
记矩阵[*]，则B与正定矩阵[*]合同，故B也是正定矩阵，且A=B2．
充分性 已知B是正定矩阵，显然B是实对称矩阵，从而A也是实对称矩阵，且
A=B2=BTB=BTEB．
故A与单位阵合同，则A为正定矩阵．