问题
解答题
| 设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n． （1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn； （2）f(n)=
（3）对任意的正整数n，不等式
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答案
（1）an=a1+（n-1）d=4+n-1=n+3．
当n=1时，b1=S1=3．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1．
当n=1时上式也成立，
∴bn=2n+1（n∈N*）．
所以an=n+3，bn=2n+1．
（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，
由于f（n）=
∴当k为正奇数时，k+27为正偶数n+3，n为正奇数 2n+1，n为正偶数
由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=
．（舍）43 2
当k为正偶数时，k+27为正奇数，
由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=
．（舍）26 7
因此，符合条件的正整数k不存在
（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤
(1+1 2n+3
)(1+1 b1
)(1+1 b2
)…(1+1 b3
）．1 bn
设g（n）=
(1+1 2n+3
)(1+1 b1
)…(1+1 b2
）．∴1 bn
=g(n+1) g(n)
(1+2n+3 2n+5
)=1 bn+1
×2n+3 2n+5
=2n+4 2n+3
．2n+4 2n+5 2n+3
又∵
＜(2n+5)(2n+3)
=2n+4，∴(2n+5)+(2n+3) 2
＞1，即g（n+1）＞g（n）．∴g（n）随n的增大而增大，故g（n）min=g（1）=g(n+1) g(n)
(1+1 5
)=1 3
．∴0＜a≤4 5 15
．4 5 15