问题
问答题
已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是
η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，-1，3)T，
又知齐次方程组Bx=0的基础解系是
β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，0)T，
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)记C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，则矩阵AT的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次线性方程组CTx=0的解．对CT作初等行变换，有
[*]
得到CTx=0的基础解系为：α1=(3，-1，1，0)T，α2=(-5，1，0，1)T．
所以矩阵[*]
(Ⅱ)设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ，则γ既可由η1，η2线性表出，也可由β1，β2线性表出，故可设
γ=x1η1+x2η2=-x3β1-x4β2，
于是 x1η1+x2η2+x3β1+x4β2=0．
对(η1，η2，β1，β2)作初等行变换，有
[*]
[*]
当0=0时，解出x4=t，x3=-t，x2=-t，x1=2t．
因此Ax=0与Bx=0的公共解为γ=2tη1-tη2=t(1，4，1，1)T，其中t为任意常数．
解析：[评注] 矩阵A的答案不唯一.