问题
问答题
设u=u(x，y)在全平面有连续偏导数，
(Ⅰ)作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，求
的关系式；
(Ⅱ)若
求证：u(x，y)为常数；
(Ⅲ)若
答案
参考答案：[分析与证明] (Ⅰ)由复合函数求导法[*]
[*]
(Ⅱ)由题(Ⅰ)，[*]
又u(rcosθ，rsinθ)对r在[0，+∞)上连续[*]
[*]
(Ⅲ)由题(Ⅰ)，有
[*]
对r从R到r积分得
[*]
注意，u(Rcosθ，Rsinθ)对θ∈[0，2π]上连续，故有界．
又[*]
从而[*]
因此[*]