已知F1(-3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记动

问题解答题

已知F1(-

，0)，F2(

，0)，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，记动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）曲线E的一条切线为l，过F₁，F₂作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F₁M|•|F₂N|的值；
（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．

答案

（1）∵|F1F2|=2

又∵|PF1|+|PF2|=4＞2

∴P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，2a=4，2c=2

，

故椭圆方程为

+y2=1

（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F₁M|•|F₂N|=1．

②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，

+y2=1

y=kx+b

（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0

△=（8kb）²-4（1+4k²）（4b²-4）=0，

∴b²=4k²，|F1M|=

k+b|

k2+1

，|F2N|=

k+b|

k2+1

，|F1M|•|F2N|=

|b2-3k2|

k2+1

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1，

综上所述，|F₁M|•|F₂N|=1．

（3）由（2）知，A(-

，0)，B(0，b)，|AB|=

+b2

4k2+1

+4k2+1

+4k2+5

≥

•4k2

当且仅当

=4k2，即k=±

时取等号

故AB²的最小值为3，此时斜率为±