问题
解答题
设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
（1）求f（0）的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2． |
答案
（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
（2）令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函数f（x）是R上的奇函数
（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2-x1＞0
∴f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0
∴f（x1）＜f（x2）
故f（x）是R上的增函数
∵f(
)=1，∴f(1 3
)=f(2 3
+1 3
)=f(1 3
)+f(1 3
)=21 3
∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)＜f(
)，2 3
又由y=f（x）是定义在R上的增函数，得2x+2＜2 3
解之得x＜-
，故x∈(-∞，-2 3
)．2 3