已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f

问题解答题

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量

cos

，1)，

λsin

，cos2θ)，是否存在实数λ，对任意θ∈[0，2π)，f(

•

)-f(3)≤0恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），

∵f（x）≠0，∴f（0）=1．

（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）为单调函数，

∴f（x）是增函数，

∵

•

=λsinθ+cos²θ，f（

•

）-f（3）≤0

∴f（λsinθ+cos²θ）≤f（3）

又∵f（x）是增函数，

∴对任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos²θ≤3恒成立，

即sin²θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）

令t=sinθ，得t²-λt+2≥0

∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，

令h（t）=t²-λt+2=(t-

)2+2-

λ2

（-1≤t≤1），

①当

＜-1时，即λ＜-2时，只要h（-1）≥0，则（*）恒成立，

∵h（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；

②当-1≤

≤1时，即-2≤λ≤2时，只要h（

）≥0，则（*）恒成立，

∵h（

）=2-

λ2

≥0，∴-2

≤λ≤2

，

∴-2≤λ≤2；

③当

＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，

∵h（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；

综上：存在-3≤λ≤3，满足题目要求．