参考答案：[证明] (Ⅰ)因为α^TAα是一个数，因此(α^TAα)^T=α^TAα．
又因(α^TAα)^T=α^TA^T(α^T)^T=-α^TAα
从而α^TAα=-α^TAα．所以恒有α^TAα=0
(Ⅱ)用反证法，如果A-kE不可逆，则齐次方程缉(A-kE)x=0有非零解α.即存在α≠0，而(A-kE)α=0，那么Aα=kα．从而α^TAα=kα^Tα，又因为α≠0，必有α^Tα＞0，现已知k≠0，从而kα^Tα≠0．与(Ⅰ)中α^TAα=0相矛盾．
(Ⅲ)因为A^T=-A，B^T=-B．那么
(AB-BA)^T=(AB)^T-(BA)^T=B^TA^T-A^TB^T-BA-AB
=-(AB-BA)
即AB-BA是反对称矩阵．于是
|AB-BA|=(-1)ⁿ|AB-BA|
若n是奇数，则必有|AB-BA|=0．所以
AB-BA是可逆矩阵的必要条件是n为偶数。

解析：[评注] 在矩阵的问题上—定要看请矩阵的形状．例如若α是n维列向量，则α^Tα，α^TAα是一令数，而αα^T是n阶矩阵．
如果熟悉特征值，应当知道反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，那么A-kE可逆就更简单了．