问题
解答题
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有
（1）解不等式f(x+
（2）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围． |
答案
（1）任取x1，x2∈[-1，1]且x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=
•(x2-x1)＞0f(x2)+f(-x1) x2+(-x1)
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数
∵f(x+
)＜f(1-x)1 2
∴-1≤x+
≤11 2 -1≤1-x≤1 x+
＜1-x1 2
∴0≤x＜
，1 4
即不等式f(x+
)＜f(1-x)的解集为[0，1 2
)．1 4
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t2-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t2-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴t2-2×(-1)×t≥0 t2-2×1×t≥0
∴t2+2t≥0 t2-2t≥0
解得t≤-2或t=0或t≥2．