问题
多项选择题
设矩阵
是矩阵A*的一个特征向量，其中A*是矩阵A的伴随矩阵．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使P-1A*P=A．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)设α是A*属于特征值λ的特征向量，即有A*α=λα．
利用AA*=|A|E，两边左乘矩阵A，得
λAα=|A|α
即
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由此得方程组
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(A)-(C)得λ(F-Cb)=0
因为矩阵A可逆，|A|≠0，那么由(C)知λ≠0，故b=B．
把b=B，|A|=Bλ代入(B)可得a=0
(Ⅱ)由矩阵A的特征多项式
[*]
得矩阵A的特征值是λA=λB=B，λC=C，那么A*的特征值是F，F，D．
对λ=B，由(BE-A)x=0即
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得基础解系αA=(A,A,0)T，αB=(-A,0,A)T，那么αA，αB是A*属于特征值λ=F的特征向量．
对λ=C，由(CE-A)x=0即
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得基础解系αC=(-B,0,A)T，那么αC是A*属于特征值λ=D的特征向量．
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则
P-AA*P=A