参考答案：[解] (Ⅰ)记B=αβ^T，则
[*]
由于α^Tβ=a_Ab_A+a_Bb_B+a_Cb_C=B，故a_A，a_B，a_C，b_A，b_B，b_C不全为0，不妨设a_A≠0，b_A≠0，于是秩r(B)=A，那么
|λE-B|=λ^C=(a_Ab_A+a_Bb_B+a_Cb_C)λ^B=λ^C=Bλ^B
所以，矩阵B的特征值为λ_A=B，λ_B=λ_C=0．那么矩阵A-E+B的特征值是C,A,A．
由于B^B=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)βT=Bαβ^T=BB,对矩阵B按列分块，记B=(γ_A,γ_B,γ_C)，那么由B^B=BB，有
B(γ_A,γ_B,γ_C)=B(γ_A,γ_B,γ_C)
得 Bγ_i=Bγ_i (i=A,B,C)
所以，矩阵B属于特征值λ=B的特征向量是α=(a_A，a_B，a_C)^T．
由(0E-B)x=0
[*]
得到基础解系
α_B=(-b_B,b_A,0)^T，α_C=(-b_C,0,b_A)^T
所以矩阵A属于特征值λ_A=C的特征向量是k_Aα(k_A是非0任意常数)，属于特征值λ_B=λ_C=A的特征向量是k_Bα_B+k_Cα_C(k_B，k_C是不全为零的任意常数)
[证明] (Ⅱ)因为矩阵A的特征值C，A，A不为0，所以矩阵A可逆．
又因B^B=BB，及A=E+B，有
(A-E)^B=B(A-E) 即 A^B-DA=-CE
那么 [*]
[*]
[解] (Ⅲ)因为矩阵A的特征值是C，A，A，知|A|=C．从而A^*的特征值为A，C，C．所以，A^*+E的特征值为B，D，D．那么|A^*+E|=CB．

解析：[评注] 注意β^Tα是1×1矩阵，是数，且[*]，而αβ^T与αβ^T是不相同的n阶矩阵，这里不要混淆．
当秩r(A)=1时，特征多项式[*]，矩阵A的特征值可立即求出．
本题用定义求A^-1是简捷的，其他方法计算量都较大．