问题
解答题
设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m＞0，且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。
答案
解：（1）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）
∵丨DM丨=m丨DA丨，
∴x=x0，|y|=m|y0|
∴x0=x，|y0|= |y|①
∵点A在圆上运动，
∴
②
①代入②即得所求曲线C的方程为
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为（ 
）， 
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为（ 
）， 
。
（2）如图2、3，∵x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），
则Q（x2，y2），N（0，y1），
∵P，H两点在椭圆C上，
∴
①-②可得
③
∵Q，N，H三点共线，
∴kQN=kQH，
∴
∴kPQkPH=
∵PQ⊥PH，
∴kPQ·kPH=-1
∴
∵m＞0，
∴
故存在
，使得在其对应的椭圆
上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH。
