参考答案：[证明] 必要性 若A，B，AB均是正定矩阵，则A，B，AB均为对称矩阵，那么
AB=(AB)^T=B^TA^T=BA
必要性成立．
充分性 由A^T=A，B^T=B，AB=BA，有
(AB)^T=B^TA^T=BA=AB
即AB是对称矩阵．
设λ为矩阵的AB的任一特征值，α是矩阵AB属于特征值λ的特征向量，
即 ABα=λα，α≠0
由A正定，知A可逆且A^-1正定，那么
βα=λA^-1α
于是α^TBα=λα^TA^-1α
由B，A^-1正定，知α^TBa＞0，α^TA^-1α＞0，故λ＞0。所以，矩阵AB的特征值恒大于零，矩阵AB正定。

解析：[评注] 如果熟悉：A正定[*]，及A可逆则A^TA正定．本题充分性的证明还可如下；
由于A，B均正定，故存在可逆矩阵P与Q使A=P^TEP，B=Q^TEQ，那么
Q(AB)Q^-1=Q(P^TP)(Q^TQ)Q^-1=(PQ^T)^T(PQ^T)
记C=PQ^T，由于P,Q均可逆，知C可逆. C^TC正定，于是AB∽C^TC。从而AB的特征值全大于0，AB是正定矩阵.