问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式； （2）若函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，且b2-mb+4≥g（x）在x∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（1）∵f′(x)=
•x2，3 a2
∴由
•x2=3得x=±a，3 a2
即切点坐标为（a，a），（-a，-a）
∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
∴
=|-2a-2a| 32+(-1)2
，2 10 5
解得a=±1，
∴f（x）=x3．
∴g（x）=x3-3bx+3（4分）
∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，
∴g′（1）=0，
即3×12-3b=0，解得b=1
∴g（x）=x3-3x+3（6分）
（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，
∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，
∴b≤0，
又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，
∴b2-mb+4≥g（1）（8分）
即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，
则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立
∴m≥3．
故m的取值范围是[3，+∞）