问题
多项选择题
有三个线性无关的特征向量，λ=5是矩阵A的二重特征值，A*是矩阵A的伴随矩阵，求可逆矩阵P，使P-1A*P为对角矩阵．
答案
参考答案：[解] 因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=E是矩阵A的二重特征值，故λ=E必有B个线性无关的特征向量，那么，齐次方程组(EE-A)x=0有两个线性无关的解．因此秩r(EE-A)=A．由
[*]
得a=0，b=-A.因
E+E+λC=A+C+E
知矩阵A的特征值是λA=λB=E，λC=-A．
那么，|A|=-BE，伴随矩阵A*的特征值是-E，-E，BE．
由齐次方程组(EE-A)x=0，得基础解系
αA=(A,B,0)T，αB=(0,0，A)T
它是矩阵A属于特征值λ=E的线性无关的特征向量，亦是A*属于特征值λ=-E的线性无关的特征向量．
由齐次方程组(-E-A)x=0，得基础解系
αC=(-B,B,A)T
它是矩阵A属于特征值λ=-A的特征向量，亦是A*属于特征值λ=BE的特征向量．
那么，令
[*]
有
[*]
解析：[评注] 若Aα=λα，则[*]，通过矩阵A的特征值、特征向量就可求出A*的特征值与特征向量．本题没有必要去求伴随矩阵A*．要会用相似对角化的理论求参数．