参考答案：[证明] 必要性若秩r=(A)=n，则A可逆，那么取B=A^-1，由于A^T=A，有
AB+B^TA=AA^-1+(A^-1)^TA=E+(A^T)^-1A=E+A^-1A=2E
知AB+B^TA是正定矩阵．
充分性 若AB+B^TA是正定矩阵，则AB+B^TA是对称矩阵.因此，x^T(AB+BTA)x是二次型的矩阵表示，且其为正定二次型。
那么，[*]α≠0，恒有α^T(AB+B^TA)α＞0.亦即
α^T(AB+B^TA)α=αTABα+α_TB^TAα=α^TA^Tα+α^Tβ^TAα
=(Aα)^T(Bα)+(βα)^T(Aα)=2(Bα)^T(Aα)＞0
所以，[*]α≠0，必有Aα≠0。
故齐次线性方程组Ax=0只有零解，因此矩阵A的秩r(A)=n.

解析：[评注] 在处理二次型正定时，要熟悉特征值法和定义法。