问题
多项选择题
已知向量组α1=(1,1,0,2)T，α2=(-1,0,1,1)T，α3=(2,3,a,7)T，α4=(-1,5,3,a+11)T线性相关，而且向量β=(1,0,2,6)T可由α1，α2，α3，α4线性表出．
(Ⅰ)求a,b的值；
(Ⅱ)试将β用α1，α2，α3，α4线性表出；
(Ⅲ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组．并将向量组中其余向量用该极大线性无关组线性表出．
答案
参考答案：[分析与求解] (Ⅰ)设xAαA+xBαB+xCαC+xDαD=β，对增广矩阵(αA,αB,αC,αD,β)加减消元，有
[*]
因为αA，αB，αC，αD线性相关，而且β可以由αA，αB，αC，αD线性表出，故知秩
r(αA,αB,αC,αD)=r(αA,αB,αC,αD,β)＜D．
可知a=A且b=C或者a=E，b=-A．
(Ⅱ)若a=A，且b=C
[*]
[*]
(Ⅲ)当a=A时，极大线性无关组是αA，αB，αD，而αC=CαA+αB+0αD
当a=E时，极大线性无关组是αA，αB，αC，而[*]
解析：[评注] 如果只是向量组α1，α2，α3，α4线性相关求a的值，那么用行列式|α1,α2,α3,α4|=0较简便．若还涉及线性表出，则用r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3，α4，β)＜4方便．
要会求向量组的极大线性无关组，并将向量组中其余向量用极大线性无关组线性表出．