问题
问答题
已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形
，其中矩阵Q的第一列是
(Ⅰ)求此坐标变换x=Qy；
(Ⅱ)求二次型的表达式；
(Ⅲ)证明对任意x=(x1,x2,x3)T，恒有-6xTx≤xTAx≤3xTx．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形是[*]说明矩阵A的特征值是3，-6，-6．又矩阵Q的第一列α就是矩阵A对应于特征值λ=3的特征向量．
设矩阵A对应于特征值λ=-6的特征向量是X=(x1，x2，x3)T，因为实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，故有
[*]
解出λ=-6的特征向量α2=(0，1，-1)T，α3=(2，0，-1)T
把α2，α3正交化，有
β2=α2=(0，1，-1)T
[*]
再单位化，有
[*]
因此Q=(α，γ2，γ3)
所用坐标变换为：
[*]
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知Q-1AQ=QTAQ=Λ，那么
A=QΛQ-1=QΛQT
[*]
故二次型为[*]
[证明] (Ⅲ)由于x=Qy是正交变换，有
xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy
又
[*]
所以[*]
故
-6xTx≤xTAx≤3xTx
解析：[评注] 二次型矩阵是实对称矩阵，在处理二次型问题时，要用好实对称矩阵特征值、特征向量的一些特殊性质．
由二次型可写出二次型矩阵，反之由二次型、矩阵又可写出二次型。因此求二次型的表达式就是求二次型矩阵．
