问题
多项选择题
已知(Ⅰ)和(Ⅱ)都是四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的基础解系是η1，η2，η3，(Ⅱ)的基础解系是ξ1，ξ2，把(Ⅰ)，(Ⅱ)两个方程组合并得到齐次方程组(Ⅲ)．
(1)证明(Ⅲ)一定有非零解；
(2)如果η1=(1,0,1,0)T，η2=(0,1,1,0)T，η3=(1,0,0,1)T，η3=(1,-2,1,0)T，ξ2=(1,1,2,1)T，求(Ⅲ)的通解．
答案
参考答案：[证明] (A)所谓齐次方程组[*]的解γ．其实就是(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．因此γ必可由ηA，ηB，ηC线性表出也可由ξA，ξB线性表出．
因为ηA，ηB，ηC，ξA，ξB是五个四维向量，必线性相关．故存在不全为零的kA，kB，kC，lA，lB，使
kAηA+kBηB+kCηC+lAξA+lBξB=0
那么令γ=kAηA+kBηB+kCηC=-(lAξA+lBξB)，则γ≠0(否则，由ηA，ηB，ηC是基础解系是线性无关的，而得kA=kB=kC=0，同理lA=lB=0，与kA，kB，kC，lA，lB不全为零相矛盾)
于是γ是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，即(Ⅲ)必有非零解．
[解] (B)设γ=xAηA+xBηB+xCηC=-yAξA-yBξB，则xAηA+xBηB+xCηC+yAξA+yBξB=0
对(ηA,ηB,ηC,ξA,ξB)作初等行变换，有
[*]
得通解
k(A,-D,-B,-A,B)T，k为任意常数．
那么由yA=-k，yB=Bk得(Ⅲ)有通解为
k(ξA-BξB)=k(-A,-D,0,-B)T，k为任意常数．