参考答案：[证明] (Ⅰ)必要性 设A=(α_A,α_B，…，α_n)其中α_A，α_B，…，α_n是m维列向量．
对任意的m维列向量β，方程组Ax=β有解，等价于α_A，α_B，…，α_n可以表示任意一个m维列向量．那么α_A，α_B，…，α_n可以线性表示m维单位向量e_A=(A,0,…,0)T，e_B=(0,A,…,0)^T，…，e^m=(0,0,…,A)^T．
于是秩r(e_A,e_B,…,e_m)≤r(α_A,α_B,…,α_n)=r(A)
又秩r(e_A,e_B,…,e_m)=m．
且
r(A)≤m．
所以
r(A)=m．
充分性 A是m×n矩阵，[*]=(A,β)是m×(n+A)矩阵，因为r(A)=m．即A中有m阶子式不为0．那么[*]必有m阶子式不为0，所以必有r([*])=m．于是r(A)=r([*])方程组Ax=β必有解．
[解] (Ⅱ) 由(Ⅰ)知若存在β使方程组Ax=β无解，则秩r(A)＜C．对A作初等变换，有
[*]
故
a=B