问题 多项选择题

设A=(aij),是三阶非零矩阵,满足条件:aij=-Aij(i,j=1,2,3),其中Aij是行列|A|的aij的代数余子式 (Ⅰ)求行列式|A|的值; (Ⅱ)证明A可逆且(A-1)T=

A.

答案

参考答案:[解] (Ⅰ)由于aij=-Aij(i,j=A,B,C),有
[*]
于是
|A*|=|-AT|=(-A)C|AT|=-|A|
又因|A*|=|A|n-A,故有|A|B=-|A*|,那么|A|为0或-A.
由于A≠0,不妨设aAA≠0,那么
[*]
从而
|A|=-A.
[证明] (Ⅱ)因为|A|≠0,所以A可逆,且
[*]
那么
(A-A)T-(AT)T=A.

解析:[评注] 当题目涉圾代数余子式时,应当想想伴随矩阵A*的定义、性质和公式,

选择题
单项选择题 A1/A2型题