参考答案：[证] (1)因为(A+2E)A=0且A≠0，所以齐次方程组(A+2E)x=0有非零解，故|A+2E|=0．即λ=-2必是矩阵A的特征值．
同理，λ=-2也必是矩阵B的特征值．
(2)由AB=0，B≠0知齐次方程组Ax=0有非零解．
故|A|=0，即λ=0必是矩阵A的特征值．
同理，λ=0也必是矩阵B的特征值．
因为Aα₁=-2α₁，用矩阵B左乘得[*]
可见α₁是矩阵B关于λ=0的特征向量．
那么α₁，α₂是矩阵B不同特征值的特征向量．故α₁，α₂线性无关．
(3)因为A²+2A=0，有A(A+2E)=0．
一方面r(A)+r(A+2E)≤n
另一方面r(A)+r(A+2E)=r(-A)+r(A+2E)≥r[(-A)+(A+2E)]=r(2E)=n
可见r(A)+r(A+2E)=n，那么r(A+2E)=n-r
当λ=-2时，(-2E-A)x=0的基础解系有n-r(-2E-A)=n-(n-r)=r个线性无关的解．即λ=-2有r个无关的特征向量．
当λ=0时，(OE-A)x=0的基础解系有，n-r(A)=n-r个线性无关的解，即λ=0有n-r个无关的特征向量．
从而矩阵A有n个线性无关的特征向量
所以
[*]

解析：[评注] 关于AB=0，要用好两种处理问题的方法：矩阵B的列向量是齐次方程组Ar=0的解，以及r(A)+r(B)≤n．