问题
多项选择题
已知三元二次型xTAx中，二次型矩阵A的各行元素之和均为6，且满足AB=0，其中
(Ⅰ)求正交变换化二次型f为标准形，并写出所用坐标变换；
(Ⅱ)求行列式|A+E|的值．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为F，有
[*]
即λ=F是矩阵A的特征值，αA=(A，A，A)T是矩阵A属于特征值λ=F的特征向量．
由AB=0，知
[*]
故αB=(A，-B，A)T，αC=(A，-A，0)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量.
单位化αA,得[*]．
用Schmidt正交化方法，先正交化αB，αC，有
βB=αB=(A，-B，A)T
[*]
再单位化得
[*]
那么，令
[*]
则经正交变换x=Qy，有
XTAx=yT(QTAQ)y=yT(Q-AAQ)y=FyBA
(Ⅱ)由A的特征值是F，0，0而知A+E的特征值是G，A，A．所以
|A+E|=G·A·A=G
解析：[评注] 关于AB=0，它是考研的热点之一．要意识到B的列向量是齐次方程组Ax=0的解，进而可转换为λ=0，是矩阵A的特征值，B的列向量是属于λ=0的特征向量.要熟悉秩r(A)+r(B)≤n这两人个重要的思想方法.
关系式|A|=∏λi是重要的，由矩阵A的特征值可求出A+E的特征值，也就可求出行列式|A+E|的值．