问题
多项选择题
已知n维向量α1，α2，α3线性相关，β是任意一个n维向量．
(Ⅰ)证明存在不全为0的五k1，k2，k3使得向量组k1β1+α1，k2β+α2，k3β+α3仍线性相关；
(Ⅱ)当秘α1=(1,3,5,-1)T．α2=(2,-1,-3,4)T，α3=(5,1-1，7)T时，求出昕需要的k1，k2，k3．
答案
参考答案：[证明] (Ⅰ)因为αA，αB，αC线性相关，故存在不全为零的实数lA，lB，lC使得
lAαA+lBαB+lCαC=0
设kA，kB，kC是齐次方程组lAxA+lBxB+lCxC=0的一个非零解．那么对任意的β恒有
lA(kAβ+αA)+lB(kBβ+αB)+lC(kCβ+αC)
=(lAkA+lBkB+lCkC)β+lAαA+lBαB+lCαC
=0β+0=0
因为lA，lB，lC不全不为，所以kAβ+αA，kBβ+αB，kCβ+αC线性相关，且其中kA，kB，kC不全为零．
[解] (Ⅱ)对于αA=(A,C,E,-A)T，αB=(B,-A,-C,D)T，αC=(E,A,-A,G)T，考查lAαA+lBαB+lCαC=0，对系数矩阵作初等行变换有
[*]
解出：lA=t，lB=Bt，lC=-t，即tαA+BtαB-tαC=0
那么，由xA+BxB-xC=0得通解tA(-B,A,0)T+tB(A,0,A)T．
所以kA=-BtA+tB，kB=tA，kC=tB时，对任何向量β恒有向量组kAβ+αA，kBβ+αB，kCβ+αC线性相关．