参考答案：

由题设，非齐次线性方程组

(α₁，α₂，α₃，α₄)X=α₅

有通解k-1，2，0，3^T+2，-3，1，5^T，知

r(α₁，α₂，α₃，α₄)=r(α₁，α₂，α₃，α₄，α₅)=3．

且由对应齐次方程组通解知，- α₁+2α₂+3α₄=0，即α₁=2α₂+3α₄，故α₂，α₃，α线性无关(若线性相关，则r(α₁，α₂，α₃，α₄)＜3，这和题设矛盾)．α₂，α₃，α₄是α₁，α₂，α₃，α₄及α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的极大线性无关组，α₁，α₅均可由α₂，α₃，α₄，线性表出．从而知

r(α₂，α₃，α₄)=r(α₁，α₃，α₄，α₅)=3，

方程组

(α₂，α₃，α₄)X=α₅ (1)

有唯一解．由题设条件，α₅可由α₁，α₂，α₃，α₄线性表出，且表出法不唯一，k可任取，取k=2，使α₅由α₁，α₂，α₃，α₄表出时，不出现α₁，则得

α₅=α₂+α₃+11α₄

故方程组(1)的通解(唯一解)为X=(1，1，11)^T．

(Ⅱ)线性非齐次方程组 (α₁，α₂，α₃，α₄，α₄+α₅)X=α₅ (2)

显然有r(α₁，α₂，α₃，α₄，α₄+α₅)=r(α₁，α₂，α₃，α₄，α₄+α₅，α₅)=3，

故方程组(2)的通解的结构为k₁ξ₁+k₂ξ₂+η．