（1）解

f(1)=- 4 3 f/(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

．…（2分）

若

b=1 c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；

若

b=-1 c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，f'（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），

直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以

b=-1 c=3

为所求．…（4分）

（2）由（1）y=f(x)+m=-

1

3

x3-x2+3x-3+m，y极小值=m-12，y极大值=m-

4

3

，…（6分）

当y_极小值=m-12＞0，或y极大值=m-

4

3

＜0，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点．…（8分）

因此，实数m的取值范围是m＞12或m＜

4

3

．…（9分）

（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，

则f'（x）在[-1，1]是单调函数，M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，因为f'（1）与f'（-1）之差的绝对值|f'（1）-f'（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．…（11分）

若|b|≤1，f'（x）在x=b∈[-1，1]取极值，

则M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|，|f'（b）|}，f'（b）-f'（±1）=（b∓1）²．

若-1≤b＜0，f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），M=max{|f′(1)|，|f′(b)|}≥

1

2

|f′(1)-f′(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；

若0≤b≤1，f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），M=max{|f'（-1）|，|f'（b）|}≥

1

2

|f′(-1)-f′(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．

当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|f′(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．…（13分）

所以，k的取值范围是(-∞，

1

2

]．…（14分）