问题
填空题
过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为 .
答案
(2,+∞)
【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.
解：设双曲线的方程为
-
=1(a>0,b>0),右焦点F的坐标为(c,0),令A(c,
),B(c,-),
所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=
.
又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,
即a+c<⇒a2+ac<c2-a2,
⇒e2-e-2>0(e=
),解得e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.