问题
解答题
设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件:①f(-1+x)=f(-1-x);②函数f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点. (1)求f(x)的解析式; (2)若不等式πf(x)>(
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答案
(1)∵由①f(x)=ax2+bx(a≠0)的对称轴方程是x=-1,
∴b=2a;
∵函数f(x)的图象与直线y=只有一个公共点,
∴
有且只有一解,y=ax2+bx y=x
即ax2+(b-1)x=0有两个相同的实根;
故△=(b-1)2=0⇒b=1,a=
,1 2
所以f(x)=
x2+x.1 2
(2)∵π>1∴πf(x)>(
)2-tx⇔f(x)>tx-2.1 π
因为
x2+x>tx-2在t∈[-2,2]时恒成立等价于1 2
函数g(t)=xt-(
x2+x+2)<0,t∈[-2,2]时恒成立;1 2
∴
⇒g(-2)<0 g(2)<0
⇒x<-3-x2-2x+4>0 x2+6x+4>0
,x>-3+5 5
故实数x的取值范围是(-∞,-3-
)∪(-3+5
,+∞).5