问题
解答题
| 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项． （1）求a1的值及数列{an}的通项公式； （2）设bn=
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答案
（1）由已知得，
=an+1 2
，4Sn=an2+2an+1．Sn
当n=1时，求得a1=1
当n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1+1
所以4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1
整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
因为{an}的各项均为正数，所以an-an-1=2，
又a1=1，所以an=2n-1；
（2）由（1）得，bn=4n+λ×(-1)n-1×2n+1，
又数列{bn}是单调递增数列，所以bn＜bn+1恒成立，
从而bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1
=3×4n-3λ×（-1）n-1×2n+1＞0恒成立．
①当n是奇数时，得λ＜2n-1恒成立，2n-1的最小值为1，λ＜1
②当n是偶数时，得λ＞-2n-1恒成立，-2n-1最大值为-2，λ＞-2．
综上得：-2＜λ＜1．
