问题 解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足
an+2Sn•Sn-1=0(n≥2),a1=
1
2

(1)求证:{
1
Sn
}是等差数列;
(2)求an表达式;
(3)若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1.
答案

解(1)∵-an=2SnSn-1

∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2)

Sn≠0,∴

1
Sn
-
1
Sn-1
=2,又
1
S1
=
1
a1
=2,

∴{

1
Sn
}是以2为首项,公差为2的等差数列.

(2)由(1)

1
Sn
=2+(n-1)2=2n,

∴Sn=

1
2n

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-

1
2n(n-1)

n=1时,a1=S1=

1
2

∴an=

1
2
(n=1)
-
1
2n(n-1)
(n≥2)

(3)由(2)知bn=2(1-n)an=

1
n

∴b22+b32+…+bn2=

1
22
+
1
32
+…+
1
n2
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)n

=(1-

1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=1-
1
n
<1.

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