参考答案：A

解析：
四个连续的自然数之积为1680，则必有两个自然数之积的尾数为0。由此，本题可采用代入法，该四个连续的自然数是5，6，7，8。故其和为26，选A。
常规解题方法：设最小的数为a，最大的数为6，则a⁴＜1680＜b⁴，所以6≥7，a≤6，确定范围之后，可以采用试探解法，如取a=6，计算出不符合，再取a=5，发现满足条件。