问题
问答题
设A为m×n矩阵，且
1.证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；
答案
参考答案：令ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r，=ξn-r+η0为AX=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即
k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．
上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r，为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…-kn-r0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r线性无关．
若γ0，γ1，…，γn-r+1。为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1-γ0，…，γn-r+1=γn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，则
k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．
因为γ0，γ1，…，γn-r+1件，线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．