问题
解答题
| 已知a1=1，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，… （1）证明：数列{lg（an+2）}是等比数列； （2）设数列{an+2}的前n项积为Tn，求Tn及数列{an}的通项公式； （3）已知bn是
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答案
（1）证明：由已知an+1=an2+4an+2，
∴an+1+2=（an+2）2
∵a1=1⇒an+2＞1，两边取对数，得lg（an+1+2）=2lg（an+2）
∴{lg（an+2）}是等比数列，公比为2，首项为lg（a1+2）=lg3
（2）由（1）得lg(an+2)=2n-1lg3=lg32n-1，
∴an=32n-1-2，
∵lgTn=lg[（a1+2）（a2+2）（an+2）]=lg（a1+2）+lg（a2+2）+…+lg（an+2）=
=lg32n-1(2n-1)lg3 2-1
∴Tn=32n-1
（3）
∵bn=
(1 2
+1 an+1
)=1 an+3
(1 2
+1 32n-1-1
)=1 32n-1+1
=32n-1 32n-1
-1 32n-1-1 1 32n-1
=
-1 an+1
=1 an+1+1
-1 a1+1
=1 an+1+1
-1 2 1 32n-1
显然bn＞0，
∴Sn≥S1=
，3 8
又Sn=
-1 2
＜1 32n-1
，1 2
∴
≤Sn＜3 8
．1 2