椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C

问题解答题

椭圆C：

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=

，|PF2|=

.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

答案

（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．

在Rt△PF₁F₂中，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

，

故椭圆的半焦距c=

，

从而b²=a²-c²=4，

所以椭圆C的方程为

=1．

（Ⅱ）解法一：

设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．

已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，

所以圆心M的坐标为（-2，1）．

从而可设直线l的方程为

y=k（x+2）+1，

代入椭圆C的方程得

（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．

因为A，B关于点M对称．

所以

x1+x2

18k2+9k

4+9k2

=-2.

解得k=

，

所以直线l的方程为y=

(x+2)+1，

即8x-9y+25=0．

（经检验，所求直线方程符合题意）

（Ⅱ）解法二：

已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，

所以圆心M的坐标为（-2，1）．

设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．

由题意x₁≠x₂且

x12

y12

=1，①

x22

y22

=1，②

由①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

(y1-y2)(y1+y2)

=0.③

因为A、B关于点M对称，

所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，

代入③得

y1-y2

x1-x2

，

即直线l的斜率为

，

所以直线l的方程为y-1=

（x+2），

即8x-9y+25=0．

（经检验，所求直线方程符合题意．）