设向量a=(x+1，y)，b=(x-1，y)，点P（x，y）为动点，已知|a|+

问题解答题

设向量

=(x+1，y)，

=(x-1，y)，点P（x，y）为动点，已知|

|+|

|=4．
（1）求点p的轨迹方程；
（2）设点p的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F（1，0）的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由已知，

(x+)2+y2

(x-1)2+1

=4，

所以动点P的轨迹M是以点E（-1，0），F（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．

因为c=1，a=2，则b²=a²-c²=3．

故动点P的轨迹M方程是

（2）设直线BC的方程x=my+1与（1）中的椭圆方程

=1联立消去x

可得（3m²+4）y²+6my-9=0，

设点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）

则y1+y2=-

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，

所以|BC|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

12(m2+1)

3m2+4

点A到直线BC的距离d=

1+m2

S△ABC=

|BC|d=

1+m2

3m2+4

令

1+m2

=t，t≥1，

∴S△ABC=

|BC|d=

18t

3t2+1

3t+

≤

故三角形的面积最大值为