问题
解答题
已知函数f（x）=x2+（3m+1）x+3m（m＞0）的图象与x轴交于不同的两点A，B且|AB|=2．
（1）求实数m的值；
（2）设g（x）=f（x）-λx，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都在直线y=1上方，求λ的取值范围．
答案
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是f（x）=0的两个不同实根，所以△＞0，所以（3m+1）2-12m＞0，所以m≠1 3
又x1+x2=-（3m+1），x1x2=3m
∴|AB|=|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=（3m+1）2-4×3m=4
∴3m2-2m-1=0
∴m=1或m=-1 3
∵m＞0，
∴m=1；
（2）由（1）知m=1，则f（x）=x2+4x+3，∴g（x）=x2+4x+3-λx
∵x∈[0，+∞），g（x）图象上的点都在直线y=1上方，
∴x2+4x+3-λx＞1在[0，+∞）上恒成立
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈（0，+∞）时，λ＜x+
+4恒成立2 x
∵x∈（0，+∞）时，x+
≥22 x 2
∴λ＜2
+42
综上知，λ的取值范围是（-∞，2
+4）．2