问题
解答题
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标。
答案
解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
则
，解得
，
∴椭圆C的标准方程为
。
（Ⅱ）由方程组
消去y，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
由题意Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)＞0，
整理得：3+4k2-m2＞0， ①
设M(x1，y1)、N(x2，y2)，
则
，
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2，0)，
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0，
也即
，
整理得7m2+16mk+4k2=0，解得m=-2k或
，均满足①．
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点(2，0)，不符合题意，舍去；
当
时，直线l的方程为
，过定点
，
故直线l过定点，且定点的坐标为
。