问题
填空题
设{an}（n∈N*）为等差数列，则使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是______．
答案
{an}（n∈N*）为等差数列，因为|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|，
∴{an}中的项一定满足
或an＞0 an-1＜0
，an＜0 an-1＞0
且项数n为偶数，设n=2k，k∈N*，等差数列的公差为d，首项为a1，不妨设
，ak+1＞0 ak＜0
则a1＜0，d＞0，且ak+3＜0，由
可得d＞3，ak+1＞0 ak+3＜0
∴|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+ak+2+…+a2k=-2（a1+a2+…+ak）+（a1+a2+…+ak+ak+1+ak+2+…+a2k）
=-2[ka1+
d]+2ka1+k(k+1) 2
d=k2d=2010，2k(2k+1) 2
∵d＞3，
∴k2d=2010＞3k2，解得k2＜670，而k∈N*，
∴k≤25，故n≤50．
∴使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是50．
故答案为：50．
