问题
解答题
已知函数f(x)=
（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数； （II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0． |
答案
（I）∵函数f(x)=
为定义在R上的奇函数，x+b 1+x2
∴f（0）=0，即b=0，
∴函数解析式为：f(x)=
．x x2+1
∴对f（x）求导数，得f′(x)=
=(x2+1)-x•2x (x2+1)2
．1-x2 (x2+1)2
∵当x＞1时，f′(x)=
＜0成立，1-x2 (x2+1)2
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（II）由f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0，得f（1+2x2）＞-f（-x2+2x-4）．
∵f（x）是奇函数，
∴-f（-x2+2x-4）=f（x2-2x+4）．
原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2-2x+4）．
又∵1+2x2≥1，x2-2x+4=（x-1）2+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴1+2x2＜x2-2x+4，即x2+2x-3＜0，
解之得-3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0的解集是{x|-3＜x＜1}