问题
解答题
一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．
（Ⅰ）求点F1关于直线l的对称点F1'的坐标；
（Ⅱ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．
答案
解：（Ⅰ）设F1的坐标为（m，n），则
且
．
解得
，因此，点F1'的坐标为（﹣
）．
（Ⅱ）∵|PF1'|=|PF1|，根据椭圆定义，
得2a=|PF1'|+|PF2|=|F1F2|=
，
∴
．
∴所求椭圆方程为
．
（Ⅲ）∵
，∴椭圆的准线方程为x=±2．
设点Q的坐标为（t，2t+3）（﹣2＜t＜2），d1表示点Q到F2的距离，d2表示点Q到椭圆的右准线的距离．
则
，
d2=|t﹣2|．
=
，
令
，则
=
，
∵当
，
，t=﹣
，f'（t）＞0．
∴f（t）在t=﹣
时取得最小值．
因此，
最小值=
，此时点Q的坐标为（﹣
）