问题
解答题
已知点P为圆 x2+y2=4上的动点，且P不在x 轴上，PD⊥x 轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0< t <2）任作一条与y轴不垂直的直线l ，它与曲线C交于A、B两点。
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分
答案
解：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4，曲线C的方程为
．
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，
代入曲线C的方程
，可得
∵0< t < 2，∴
∴直线l与曲线C总有两个公共点．
设点A，B的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），则
要使∠ANB被x轴平分，只要
即
，y1（x2-n）+y2（x1-n）=0，
也就是y1（sy2+t-n）+y2（sy1+t-n）=0，2sy1y2+（t-n）（y1+y2）=0，
即
，
即只要（nt-4）s=0
当
时，（＊）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分．
所以在x轴上存在定点
，使得∠ANB总能被x轴平分