问题
解答题
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，求证k1+k2=0．
答案
（1）设椭圆方程为
+x2 a2
=1y2 b2
则
解得a2=8，b2=2a=2b
+4 a2
=11 b2
∴椭圆方程为
+x2 8
1y2 2
（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由kOM=1 2
∴l的方程为y=
x+m1 2
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x2+2mx+2m2-4=0
∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点
∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由x2+2mx+2m2-4=0可得
x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4
则k1=
，k2=y1-1 x1-2 y2-1 x 2 -2
而k1+k2=
+y1-1 x1-2
=y2-1 x 2 -2
=(
x1+m-1)(x2-2)+(1 2
x2+m-1)(x1-2) 1 2 (x1-2)(x2-2)
=02m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1) (x1-2)(x2-2)
∴k1+k2=0，
故得证．