问题
解答题
设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=
（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式； （2）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． |
答案
（1）∵4Sn=
+2an+1，∴当n≥2时，4Sn-1=a 2n
+2an-1+1．a 2n-1
两式相减得4an=
-a 2n
+2an-2an-1，a 2n-1
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又4S1=
+2a1+1，∴a1=1，a 21
∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴an=2n-1；
（2）由（1）知Sn=
=n2，(1+2n-1)n 2
∴Sm=m2，Sk=k2，Sp=p2，
于是
+1 Sm
-1 Sp
=2 Sk
+1 m2
-1 p2
=2 k2 k2(p2+m2)-2m2p2 m2p2k2
=
≥(
)2(p2+m2)-2m2p2m+p 2 m2p2k2
=0，mp×2pm-2m2p2 m2p2k2
∴
+1 Sm
≥1 Sp
；2 Sk
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn=na1+
d=n(n-1) 2
，n(a1+an) 2
于是Sm+Sp-2Sk=ma1+
d+pa1+m(m-1) 2
d-[2ka1+k(k-1)d]p(p-1) 2
=(m+p)a1+
d-(2ka1+k2d-kd)，m2+p2-m-p 2
将m+p=2k代入得，Sm+Sp-2Sk=
d≥0，(m-p)2 4
∴Sm+Sp≥2Sk，
又SmSp=
=mp(a1+am)(a1+ap) 4
≤mp[
+(am+ap)a1+amap]a 21 4 (
)2[m+p 2
+2a1ak+(a 21
)2]am+ap 2 4
=
=k2(a12+2a1ak+
)a 2k 4
=k2(a1+ak)2 4
，S 2k
∴
+1 Sm
=1 Sp
≥Sm+Sp SmSp
=2Sk S 2k
．2 Sk