问题
解答题
| 数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和．对于n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列． （1）求数列{an}的通项an； （2）设数列{
（3）若函数f(x)=
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答案
（1）由已知n∈N*时，2Sn=an+an2总成立．∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2），
两式作差，得2an=an+an2-an-1-an-12，∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1），∵an、an-1均为正数．∴an-an-1=1（n≥2）．∴{an}是公差为1的等差数列．
又n=1时，2S1=2a1=a1+a12，得a1=1，故an=n．…（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，R1=T1=
=1，2(T2-1)=2(1 a1
+1 a1
-1)=1．∴n=2时，等式成立1 a2
②假设当n=k（k≥2）时，
Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk+1-
)-k1 ak+1 =(k+1)(Tk+1-
)-k=(k+1)(Tk+1-1+1-1 k+1
)-k=(k+1)(Tk+1-1).1 k+1 当n=k+1时，等式也成立.
综合①和②，可知所要证明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，则f(x)=
，1 p
f(an)不是0，∴q≠0，∵f（x）定义域为R，lim n→∞
∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(
)x恒成立．由于q≠0时，-(1 3q
)x的值域为（-∞，0），1 3q
∴p-1≥0，又当p=1时，f（x）=1.
f(an)≠0，lim n→∞
∴p＞1．
∵
f(an)=lim n→∞ lim n→∞
=1 (p-1)•3qn+1
，，1 0＜3q＜1 1 p 3q=1 left
10&3q ＞
∴3q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分