问题
解答题
已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
答案
（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y=-x+n．
由
得4x2-6nx+3n2-4=0．x2+3y2=4 y=-x+n
因为A，C在椭圆上，
所以△=-12n2+64＞0，解得-
＜n＜4 3 3
．4 3 3
设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=3n 2
，y1=-x1+n，y2=-x2+n．3n2-4 4
所以y1+y2=
．n 2
所以AC的中点坐标为(
，3n 4
)．n 4
由四边形ABCD为菱形可知，点(
，3n 4
)在直线y=x+1上，n 4
所以
=n 4
+1，解得n=-2．3n 4
所以直线AC的方程为y=-x-2，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
所以|AB|=|BC|=|CA|．
所以菱形ABCD的面积S=
|AC|2．3 2
由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=
，-3n2+16 2
所以S=
(-3n2+16)(-3 4
＜n＜4 3 3
)．4 3 3
所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值4
．3