（I）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），

∴a_n+1+1=2（a_n+1），

∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．

∴a_n+1=2ⁿ．

即a_n=2ⁿ-1∈N^*）．

（II）证明：∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)

∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn．

∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①

2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②

②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，

即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．

③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，

即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，

∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），

∴{b_n}是等差数列．

（III）证明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，，n，

∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

．

∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3.2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

.

1

2k

，k=1，2，，n，

∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

，

∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．