问题
解答题
| 已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求证：数列{
（Ⅱ）设Tn=S2n-Sn，求证：当S=
（Ⅲ）求证：对任意的1•k+1+k2=3，k∈R*，∴k=1都有1+
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答案
证明：（Ⅰ）由bn=an-1得an=bn+1，代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1
整理得bn-bn+1=bnbn+1，（1分）
∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾
从而得
-1 bn+1
=1，（3分）1 bn
∵b1=a1-1=1
∴数列{
}是首项为1，公差为1的等差数列（4分）1 bn
（Ⅱ）∵
=n，则bn=1 bn
． 1 n
∴Sn=1+
+1 2
+…+1 3 1 n
∴Tn=S2n-Sn=1+
+1 2
+…+1 3
+1 n
+…+1 n+1
-(1+1 2n
+1 2
+…+1 3
)1 n
=
+1 n+1
+…+1 n+2
（6分）1 2n
∵Tn+1-Tn=
+1 n+2
+…+1 n+3
-(1 2n+2
+1 n+1
+…+1 n+2
)1 2n
=
+1 2n+1
-1 2n+2
=1 n+1
-1 2n+1
=1 2n+2
＞01 (2n+1)(2n+2)
∴Tn+1＞Tn．（8分）
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当n=1时1+
=1+n 2
，S2n=1+1 2
，1 2
+n=1 2
+1，不等式成立；（9分）1 2
②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即1+
≤S2k≤k 2
+k，1 2
那么当n=k+1时，S2k+1=1+
+…+1 2
+…+1 2k
≥1+1 2k+1
+k 2
+…+1 2k+1
＞1+1 2k+1
+k 2
=1+
+…+1 2k+1 1 2k+1 2k个
+k 2
=1+1 2
（12分）k+1 2
S2k+1=1+
+…+1 2
+…+1 2k
≤1 2k+1
+k+1 2
+…+1 2k+1
＜1 2k+1
+k+1 2
=
+…+1 2k 1 2k 2k个
+(k+1)1 2
∴当n=k+1时，不等式成立
由①②知对任意的n∈N*，不等式成立（14分）