已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为12，点P是椭

问题填空题

已知椭圆

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为

，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B、
（1）求椭圆的方程．
（2）试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．

答案

（1）∵2a=4，

，∴a=2，c=1，b=

．

∴椭圆的方程为

=1．

（2）设点P（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠0），

直线l的方程为y-y₀=k（x-x₀），代入

=1，

整理，得（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（y₀-kx₀）²-12=0．

∵x=x₀是方程的两个相等实根，

∴2x₀=-

8k(y0-kx0)

3+4k2

，解得k=-

3x0

4y0

．

∴直线l的方程为y-y₀=-

3x0

4y0

（x-x₀）．

令x=0，得点A的坐标为（0，

4y20+3x20

4y0

）．

又∵

x02

y02

=1，∴4y+3x0=12．

∴点A的坐标为（0，

）．

又直线l′的方程为y-y₀=

4y0

3x0

（x-x₀），

令x=0，得点B的坐标为（0，-

）．

∴以AB为直径的圆的方程为x•x+（y-

）•（y+

）=0．整理，得x²+y²+（

）y-1=0．

令y=0，得x=±1，

∴以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）．