问题 解答题

设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;

(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.

答案

(Ⅰ)解法一:依题意,可设直线AB的方程为y=k(x-1)+3,

代入3x2+y2=λ,整理得:(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0①

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根,

∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0,②

且x1+x2=

2k(k-3)
k2+3
.由N(1,3)是线段AB的中点,得x1+x2=2,

∴k(k-3)=k2+3解得k=-1,代入②得λ>12,

即λ的取值范围是(12,+∞).

于是直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.

解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

3
x21
+
y21
3
x22
+
y22
=λ.
⇒3 (x1-x2) (x1+x2)+(y1-y2)=0.

依题意,x1≠x2,∴kAB=-

3(x1+x2)
y1+y2

∵N(1,3)是AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=6,从而kAB=-1.

又由N(1,3)在椭圆内,∴λ>3×12+32=12,

∴λ的取值范围是(12,+∞).

直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.

(Ⅱ)解法一:∵CD垂直平分AB,

∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③

又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0),

则x3,x4是方程③的两根,

∴x3+x4=-1,且x0=

x1+x2
2
=-
1
2
,y0=x0+2=
3
2
,即M(-
1
2
3
2

于是由弦长公式可得|CD|=

=+(-
1
k
)
2
•|x3-x4|=
2(λ-3)
.④

将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ=0.⑤

同理可得|AB|=

1+k2
•|x1-x2|=
2(λ-12)
.⑥

∵当λ>12时,

2(λ-3)
2(λ-12)

∴|AB|<|CD|.

假设存在λ>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.

点M到直线AB的距离为d=

|x0+y0-4|
2
=
|-
1
2
+
3
2
-4|
2
=
3
2
2
.⑦

于是,由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+|

AB
2
|2=
9
2
+
λ-12
2
=
λ-3
2
=|
CD
2
|2

故当λ>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,|

CD
2
|为半径的圆上.

(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:

A、B、C、D共圆⇔ACD为直角三角形,A为直角⇔|AN|2=|CN|•|DN|,

(

|AB|
2
)2=(|
CD
2
|+d)(|
CD
2
|-d).⑧

由⑥式知,⑧式左边=

λ-12
2

由④⑦知,⑧式右边=(

2(λ-3)
2
+
3
2
2
)(
2(λ-3)
2
-
3
2
2
)=
λ-3
2
-
9
2
=
λ-12
2

∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.)

解法二:由(Ⅱ)解法一知λ>12,

∵CD垂直平分AB,

∴直线CD的方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③

将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤

解③和⑤式可得x1,2=

λ-12
2
,x3,4=
-1±
λ-3
2

不妨设A(1+

1
2
λ-12
,3-
1
2
λ-12
),

C(

-1-
λ-3
2
3-
λ-3
2
),D(
-1+
λ-3
2
3+
λ-3
2
).

CA
=(
3+
λ-12
+
λ-3
2
3-
λ-12
+
λ-3
2
),

DA
=(
3+
λ-12
-
λ-3
2
3-
λ-12
-
λ-3
2
),

计算可得

CA
DA
=0,

∴A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点,

∴A、B、C、D四点共圆.

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题