（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，

代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0①

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个不同的根，

∴△=4[λ（k²+3）-3（k-3）²]＞0，②

且x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

．由N（1，3）是线段AB的中点，得x₁+x₂=2，

∴k（k-3）=k²+3解得k=-1，代入②得λ＞12，

即λ的取值范围是（12，+∞）．

于是直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．

解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有

3 x 21 + y 21 =λ 3 x 22 + y 22 =λ.

⇒3 （x₁-x₂） （x₁+x₂）+（y₁-y₂）=0．

依题意，x₁≠x₂，∴k_AB=-

3(x1+x2)

y1+y2

．

∵N（1，3）是AB的中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，从而k_AB=-1．

又由N（1，3）在椭圆内，∴λ＞3×1²+3²=12，

∴λ的取值范围是（12，+∞）．

直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．

（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③

又设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD的中点为M（x₀，y₀），

则x₃，x₄是方程③的两根，

∴x₃+x₄=-1，且x₀=

x1+x2

2

=-

1

2

，y₀=x₀+2=

3

2

，即M（-

1

2

，

3

2

）

于是由弦长公式可得|CD|=

=+(- 1 k )2

•|x₃-x₄|=

2(λ-3)

．④

将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x²-8x+16-λ=0．⑤

同理可得|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

2(λ-12)

．⑥

∵当λ＞12时，

2(λ-3)

＞

2(λ-12)

，

∴|AB|＜|CD|．

假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．

点M到直线AB的距离为d=

|x0+y0-4|

2

=

|- 1 2 + 3 2 -4|

2

=

3 2

2

．⑦

于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|²=|MB|²=d²+|

AB

2

|2=

9

2

+

λ-12

2

=

λ-3

2

=|

CD

2

|2．

故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|

CD

2

|为半径的圆上．

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆⇔ACD为直角三角形，A为直角⇔|AN|²=|CN|•|DN|，

即(

|AB|

2

)2=（|

CD

2

|+d）（|

CD

2

|-d）．⑧

由⑥式知，⑧式左边=

λ-12

2

，

由④⑦知，⑧式右边=（

2(λ-3)

2

+

3 2

2

）（

2(λ-3)

2

-

3 2

2

）=

λ-3

2

-

9

2

=

λ-12

2

．

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）

解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12，

∵CD垂直平分AB，

∴直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③

将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x²-8x+16-λ=0．⑤

解③和⑤式可得x_1，2=

2± λ-12

2

，x_3，4=

-1± λ-3

2

，

不妨设A（1+

1

2

λ-12

，3-

1

2

λ-12

），

C（

-1- λ-3

2

，

3- λ-3

2

），D（

-1+ λ-3

2

，

3+ λ-3

2

）．

∴

CA

=（

3+ λ-12 + λ-3

2

，

3- λ-12 + λ-3

2

），

DA

=（

3+ λ-12 - λ-3

2

，

3- λ-12 - λ-3

2

），

计算可得

CA

•

DA

=0，

∴A在以CD为直径的圆上．

又B为A关于CD的对称点，

∴A、B、C、D四点共圆．