已知等差数列{an}中，a2+a4=10，a5=9，数列{bn}中，b1=a1，

问题解答题

已知等差数列{a_n}中，a₂+a₄=10，a₅=9，数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n+1=b_n+a_n．
（ I）求数列{a_n}的通项公式，写出它的前n项和S_n；
（ II）求数列{b_n}的通项公式；
（ III）若cn=

an•an+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

（ I）设a_n=a₁+（n-1）d，由题意得2a₁+4d=10，a₁+4d=9，a₁=1，d=2，

所以a_n=2n-1，Sn=na1+

n(n-1)

d=n2．…（4分）

（ II）b₁=a₁=1，b_n+1=b_n+a_n=b_n+2n-1，

所以b₂=b₁+1，b₃=b₂+3=b₁+1+3，…

bn=b1+1+2+…+(2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2（n≥2），

又n=1时n²-2n+2=1=a₁，

所以数列{b_n}的通项bn=n2-2n+2；…（9分）

（ III）cn=

an•an+1

(2n-1)(2n+1)

2n-1

2n+1

∴Tn=c1+c2+…+cn=(

)+(

)+…+(

2n-1

2n+1

)

=1-

2n+1

． …（14分）